数学II_1Q4H_1

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初項

a

公差

d

の等差数列の一般項

a_{n} = ?

a_{n} =

a

+ (n - 1)

d

= d n + (a - d)

Targets

1. 漸化式を自分で作成し最初の５項を求めることができる
2. 等差数列の例を作ることができる
3. ２で自作した例から一般項を求めることができる
4. ２で自作した例から第100項を求めることができる
5. 等差数列の異なる2項を与えて、初項と公差を求めることができる

初項

a

公比

r

の等比数列の一般項

a_{n} = ?

a_{n} =

a

\cdot

r

^{n - 1}

Targets

1. 等比数列の例を作ることができる
2. １で自作した例から一般項を求めることができる
3. １で自作した例から第8項を求めることができる
4. 等比数列の異なる2項を与えて、初項と公比を求めることができる
5. 数列の一般項を与えて第３項から第８項までの和を
　和の記号

Σ

を用いて表示できる

初項

a

公差

d

の等差数列の

n

項までの和

S_{n} = ?

、Σ

k = ?

、Σ

k^{2} = ?

、Σ

k^{3} = ?

S_{n} = \frac{1}{2} n (a + a_{n}) = \frac{1}{2} n {

a

+ (n - 1)

d

} = \frac{1}{2} n (d n + 2 a - d)

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n + 1)

、

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)

\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{1}{4} n^{2} (n + 1)^{2}

証明：1Q4H_V3_pf

Targets

1. 等差数列の例を与えて、初項から

n

項までの和を求めることができる
2. １で自作した例を用いて３項から100項までの和を求めることができる。
3. 一般項が２次式で与えられた数列の初項から

n

項までの和を
　和の記号

Σ

を用いて求めることができる
←

\sum_{k = 1}^{n} (a k + b) = ?

←

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = ?

初項

a

公比

r

の等比数列の

n

項までの和

S_{n} = ?

、Σ

1 / a_{k}

a_{k}

_{+}

_{1} = ?

S_{n} =

a

\cdot \frac{1 - r^{n}}{1 - r} =

a

\cdot \frac{r^{n} - 1}{r - 1}

r \neq 1

、

S_{n} =

a

n

r = 1

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{k + 1}} = \frac{1}{d} (\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{n + 1}})

a_{k + 1} - a_{k} = d

証明：1Q4H_V4_pf

Targets

1. 等比数列の例を与えて、初項からn項までの和を求めることができる
2. １で自作した例で、初項から８項までの和を求めることができる
3. 一般項が等差数列のk項とk+1項の積の逆数の和を求めることができる
　←部分分数分解

b_{k} = a_{k}

_{+}

_{1} - a_{k}

→

a_{n} = ?

、

a_{n}

_{+}

_{1} = r a_{n} + b

(

r

≠

1

) →

a_{n} = ?

b_{k} = a_{k + 1} - a_{k} \to a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}

a_{n + 1} = r a_{n} + b

(

r \neq 1

)

\to a_{n} - λ = (a_{1} - λ) \cdot r^{n - 1} (λ = r λ + b)

証明：1Q4H_V5_pf

Targets

1. 階差数列から元の数列の一般項を求めることができる
2.

a_{n + 1} = a_{n} + b_{n}

型の漸化式の例を作り解くことができる
3.

a_{n + 1} = r a_{n} + b

(

r \neq 1

) 型の漸化式の例を作り解くことができる

数学的帰納法の３ステップは？

１．

n = 1

のとき、成り立つことを示す
２．

n = k

の時成り立つと仮定して、

n = k + 1

のとき成り立つことを導く
３．ステップ1,2よりすべての自然数

n

に対して主張が成り立つ

Targets

1. テキストを読み、数学的帰納法の３ステップを書くことができる
2. 数学的帰納法で証明できる問題を一つ見つけて、証明を書くことができる