数学II_1Q4H_1 – Math

				Next
				再生リスト

テキスト	演習	演習解答	課題	解説
1Q4H_1	1Q4H_E1	1Q4H_ES1	1Q4H_K1	1Q4H_V1

初項$a$ 公差$d$ の等差数列の一般項 $a_n=?$

$a_n=$$a$$+(n-1)$$d$$=dn+(a-d)$

Targets

1. 漸化式を自分で作成し最初の５項を求めることができる
2. 等差数列の例を作ることができる
3. ２で自作した例から一般項を求めることができる
4. ２で自作した例から第100項を求めることができる
5. 等差数列の異なる2項を与えて、初項と公差を求めることができる

初項$a$ 公比$r$ の等比数列の一般項 $a_n=?$

$a_n=$$a$$\cdot$$r$$^{n-1}$

Targets

1. 等比数列の例を作ることができる
2. １で自作した例から一般項を求めることができる
3. １で自作した例から第8項を求めることができる
4. 等比数列の異なる2項を与えて、初項と公比を求めることができる
5. 数列の一般項を与えて第３項から第８項までの和を
　和の記号$\Sigma$を用いて表示できる

初項$a$ 公差$d$ の等差数列の$n$項までの和$S_n=?$、Σ$k=?$、Σ$k^2=?$、Σ$k^3=?$

$S_n=\frac{1}{2}n(a+a_n)=\frac{1}{2}n \{$2$a$$+(n-1)$$d$$\}=\frac{1}{2}n(dn+2a-d)$
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k}=\frac{1}{2}n(n+1)$、$\; \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^3}=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$
証明：1Q4H_V3_pf

Targets

1. 等差数列の例を与えて、初項から$n$項までの和を求めることができる
2. １で自作した例を用いて３項から100項までの和を求めることができる。
3. 一般項が２次式で与えられた数列の初項から$n$項までの和を
　和の記号$\Sigma$を用いて求めることができる
← $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(ak+b)}=?$
←$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2}=?$

初項$a$ 公比$r$ の等比数列の$n$項までの和$S_n=?$、Σ$1/a_k$$a_k$$_+$$_1=?$

$S_n=$$a$$\cdot \displaystyle{\frac{1-r^n}{1-r}}=$$a$$\cdot \displaystyle{\frac{r^n-1}{r-1}}$ if $r\neq1$、 $S_n=$$a$$n$ if $r=1$
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_ka_{k+1}}}=\frac{1}{d}\Big( \frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}} \Big)$ if $a_{k+1}-a_k=d$
証明：1Q4H_V4_pf

Targets

1. 等比数列の例を与えて、初項からn項までの和を求めることができる
2. １で自作した例で、初項から８項までの和を求めることができる
3. 一般項が等差数列のk項とk+1項の積の逆数の和を求めることができる
　←部分分数分解

$b_k=a_k$$_+$$_1-a_k$ → $a_n=?$ 、$a_n$$_+$$_1=ra_n+b$ ($r$≠$1$) → $a_n=?$

$b_k=a_{k+1}-a_k \rightarrow a_n=a_1+\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}b_k}$
$a_{n+1}=ra_n+b$ ($r \neq 1$) $\rightarrow a_n-\lambda=(a_1-\lambda)\cdot r^{n-1}　\; \big( \lambda =r \lambda +b)$
証明：1Q4H_V5_pf

Targets

1. 階差数列から元の数列の一般項を求めることができる
2. $a_{n+1}=a_n+b_n$ 型の漸化式の例を作り解くことができる
3. $a_{n+1}=ra_n+b$ ($r \neq 1$) 型の漸化式の例を作り解くことができる

数学的帰納法の３ステップは？

１．$n=1$のとき、成り立つことを示す
２．$n=k$の時成り立つと仮定して、$n=k+1$のとき成り立つことを導く
３．ステップ1,2よりすべての自然数$n$に対して主張が成り立つ

Targets

1. テキストを読み、数学的帰納法の３ステップを書くことができる
2. 数学的帰納法で証明できる問題を一つ見つけて、証明を書くことができる