数学II_1Q4H_2

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べき関数の極限 lim

r^{n} = ?

、初項

a

公比

r

の等比級数

S = ?

lim_{n \to \infty} r^{n} = {\begin{cases} 0 (- 1 < r < 1) \\ 1 (r = 1) \\ 発散 {\begin{cases} \infty & (r > 1) \\ 振動 & (r < - 1) \end{cases} \end{cases}

S = a + a r + a r^{2} + \dots = {\begin{cases} \frac{a}{1 - r} & (- 1 < r < 1) \\ 発散 & (そ の 他) \end{cases}

Targets

1. べき関数の極限

lim_{n \to \infty} r^{n}

を求めることができる
2. 1の応用として極限

lim_{n \to \infty} (a^{n} \pm b^{n} \pm c^{n})

を求めることができる
3. 1の応用として極限

lim_{n \to \infty} \frac{a^{n} \pm b^{n}}{c^{n} \pm d^{n}}

を求めることができる
4. 等比級数の収束・発散を判定できる

a_{k}

_{+}

_{1} - a_{k} = d

のとき、無限和 Σ

1 / a_{k} a_{k}

_{+}

_{1} = ?

因数定理：

f (a) = 0

のとき

f (x) = ?

a_{k + 1} - a_{k} = d \neq 0

のとき

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{a_{k} a_{k + 1}} = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{k + 1}} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{d} (\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{n + 1}}) = \frac{1}{d a_{1}}

f (a) = 0

のとき

f (x) =

(x - a)

g (x)

　因数定理

Targets

1.無限和

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{a_{k} a_{k + 1}} (a_{k + 1} - a_{k} = d)

を求めることができる
2. 分母・分子を因数分解して、不定形

\frac{0}{0}

の極限を求めることができる

lim

1 / x^{n} = ?

、分子の有理化

(

√A-√B

) = ?

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{n}} = 0

、

\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{A} - \sqrt{B}}{1} = \frac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}

Targets

1. 極限

lim_{n \to \infty} f (x) (f (x)

は多項式

)

を求めることができる
2. 極限

lim_{n \to \infty} \frac{f (x)}{g (x)} (f (x), g (x)

は多項式

)

を求めることができる
3. 極限

lim_{n \to \infty} (\sqrt{a x^{2} + b x + c} - \sqrt{a x^{2} + d x + e})

を求めることができる

関数

f (x)

の平均変化率 Δ

f /

x = ?

、微分係数

f^{'} (a) = ?

、導関数

f^{'} (x) = ?

\frac{Δ f}{Δ x} = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

、

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Targets

1. 関数

f (x)

の区間

[a, b]

における平均変化率を求めることができる
2. 定義から

f (x)

の

x = a

における微分係数を求めることができる
3. 定義から

f (x) =

(3次以下の多項式)の導関数を求めることができる

微分公式　

(x^{n})^{'} = ?

、

(1 / x^{n})^{'} = ?

、

(f g)^{'} = ?

、

(f / g)^{'} = ?

、

(f / g^{n})^{'} = ?

(c)^{'} = 0

、

(x)^{'} = 1

、

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

、

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

{(\frac{1}{x^{n}})}^{'} = \frac{- n}{x^{n + 1}}

、

{(\frac{f}{g})}^{'} = \frac{f^{'} \cdot g - f \cdot g^{'}}{g^{2}}

証明：1Q4H_V11_pf

Targets

1. 多項式関数の微分が計算できる
2. (多項式)×(多項式) の微分が計算できる
3.

\frac{(多 項 式)}{(多 項 式)}

の微分が計算できる
4.

\frac{1}{x^{n}} = x^{- n}

の微分が計算できる

微分公式　

(f^{n})^{'} = ?

、

(1 / g^{n})^{'} = ?

、

(x^{a})^{'} = ?

(f^{n})^{'} = n f^{'} \cdot f^{n - 1}

、

{(\frac{f}{g^{n}})}^{'} = \frac{f^{'} \cdot g - n f \cdot g^{'}}{g^{n + 1}}

、

{(\frac{1}{g^{n}})}^{'} = \frac{- n g^{'}}{g^{n + 1}}

{(\sqrt[m]{x^{n}})}^{'} = {(x^{\frac{n}{m}})}^{'} = \frac{n}{m} x^{\frac{n}{m} - 1}

、

{(\frac{1}{\sqrt[m]{x^{n}}})}^{'} = {(x^{- \frac{n}{m}})}^{'} = \frac{- n}{m} x^{- \frac{n}{m} - 1}

証明：1Q4H_V12_pf

Targets

(多 項 式)^{n}

の微分が計算できる
2.

\frac{1}{(多 項 式)^{n}}

の微分が計算できる
3.

\sqrt[n]{x^{m}} = x^{\frac{m}{n}}, \frac{1}{\sqrt[n]{x^{m}}} = x^{- \frac{m}{n}}

の微分が計算できる