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| 2Q2H_4 | 2Q2H_E4 | 2Q2H_ES4 | 2Q2H_K4 | 2Q2H_V4 |
| 2Q2H_pf4 |
$|AB^→|=?$、ABを$t:1-t$に分ける点$P=?$、中点$M=?$、三角形$ABC$の重心$G=?$
${\mathrm{A}}(a_1,a_2)$、${\mathrm{B}}(b_1,b_2)$、${\mathrm{C}}(c_1,c_2)$のとき
点${\mathrm{A}}$の位置ベクトル：$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$$\quad |\vec{a}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$
点${\mathrm{B}}$、${\mathrm{C}}$の位置ベクトルも同様に表記する
${\mathrm{AB}}=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|-\vec{a}+\vec{b}|=\left | \begin{pmatrix}b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \end{pmatrix} \right |=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}$
${\mathrm{AB}}$ を $t:1-t$ に分ける点を ${\mathrm{P}}$ 中点を ${\mathrm{M}}$ とすると
$\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b} \quad \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac{1}{2}\left(\vec{a}+\vec{b} \right)$
$\triangle {\mathrm{ABC}}$ の重心を ${\mathrm{G}}$ とすると $\quad \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{1}{3}\left(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \right)$
点${\mathrm{A}}$の位置ベクトル：$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$$\quad |\vec{a}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$
点${\mathrm{B}}$、${\mathrm{C}}$の位置ベクトルも同様に表記する
${\mathrm{AB}}=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|-\vec{a}+\vec{b}|=\left | \begin{pmatrix}b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \end{pmatrix} \right |=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}$
${\mathrm{AB}}$ を $t:1-t$ に分ける点を ${\mathrm{P}}$ 中点を ${\mathrm{M}}$ とすると
$\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b} \quad \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac{1}{2}\left(\vec{a}+\vec{b} \right)$
$\triangle {\mathrm{ABC}}$ の重心を ${\mathrm{G}}$ とすると $\quad \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{1}{3}\left(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \right)$
Targets
1. $\triangle {\mathrm{ABC}}$を与えて、
$\quad$$ {\mathrm{AB}}=\lvert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \rvert$、$ {\mathrm{BC}}=\lvert \overrightarrow{\mathrm{BC}} \rvert$、$ {\mathrm{CA}}=\lvert \overrightarrow{\mathrm{CA}} \rvert$を求めることができる
2. 点の位置ベクトル表示を利用して、
$\quad$内分点・外分点・中点 および 三角形の重心 を求めることができる
$\quad$$ {\mathrm{AB}}=\lvert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \rvert$、$ {\mathrm{BC}}=\lvert \overrightarrow{\mathrm{BC}} \rvert$、$ {\mathrm{CA}}=\lvert \overrightarrow{\mathrm{CA}} \rvert$を求めることができる
2. 点の位置ベクトル表示を利用して、
$\quad$内分点・外分点・中点 および 三角形の重心 を求めることができる
| 2Q2H_5 | 2Q2H_E5 | 2Q2H_ES5 | 2Q2H_K5 | 2Q2H_V5 |
垂直条件 $a^→⊥b^→=?$、平行条件 $a^→//b^→=?$
$\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$、$\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ のとき $\quad \vec{a}\perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1a_2+b_1b_2=0$
$\vec{a} /\!/ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}=t\vec{b}$ $ \Leftrightarrow \begin{cases} a_1=tb_1 \\ a_2=tb_2 \end{cases}$ $ \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}(=t) \; (b_1b_2\neq1) \\ a_1=0 \; (b_1=0) \\ a_2=0 \; (b_2=0) \end{cases}$
$\vec{a} /\!/ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}=t\vec{b}$ $ \Leftrightarrow \begin{cases} a_1=tb_1 \\ a_2=tb_2 \end{cases}$ $ \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}(=t) \; (b_1b_2\neq1) \\ a_1=0 \; (b_1=0) \\ a_2=0 \; (b_2=0) \end{cases}$
Targets
1. 四角形 $\square {\mathrm{ABCD}}$ が平行四辺形となる条件
2. ３点 ${\mathrm{A}}$、 ${\mathrm{B}}$、${\mathrm{C}}$ が一直線上に並ぶ 条件
3. ベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ が垂直となる条件
以上をベクトルを用いてあらわすことができる
2. ３点 ${\mathrm{A}}$、 ${\mathrm{B}}$、${\mathrm{C}}$ が一直線上に並ぶ 条件
3. ベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ が垂直となる条件
以上をベクトルを用いてあらわすことができる
| 2Q2H_6 | 2Q2H_E6 | 2Q2H_ES6 | 2Q2H_K6 | 2Q2H_V6 |
| 2Q2H_pf6 |
定点を通り、ベクトル$v^→$に平行な直線 $=?$、ベクトル $n^→$ に垂直な直線 $=?$
$AB$ を直径の両端とする円 $=?$
$AB$ を直径の両端とする円 $=?$
点${\mathrm{A}}(x_1, x_2)$ を通り
ベクトル $\vec{v}=\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$ に平行な直線：$\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}$
ベクトル $\vec{n}=\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$ に垂直な直線：$a(x-x_1)+b(y-y_1)$
２点 ${\mathrm{A}}(x_1, y_1)$、${\mathrm{B}}(x_2, y_2)$ を直径の両端とする円：
$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$
ベクトル $\vec{v}=\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$ に平行な直線：$\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}$
ベクトル $\vec{n}=\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$ に垂直な直線：$a(x-x_1)+b(y-y_1)$
２点 ${\mathrm{A}}(x_1, y_1)$、${\mathrm{B}}(x_2, y_2)$ を直径の両端とする円：
$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$
Targets
1. 点 ${\mathrm{C}}$ を通りベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ に平行な直線および垂直な直線
$\quad$を求めることができる
2. 線分 ${\mathrm{AB}}$ を直径の両端とする円の方程式を求めることができる
3. 三角形 ${\triangle \mathrm{ABC}} $の頂点を通り、 対辺に垂直な直線を求めることができる
$\quad$また、三角形${\triangle \mathrm{ABC}}$の垂心も求めることができる
$\quad$を求めることができる
2. 線分 ${\mathrm{AB}}$ を直径の両端とする円の方程式を求めることができる
3. 三角形 ${\triangle \mathrm{ABC}} $の頂点を通り、 対辺に垂直な直線を求めることができる
$\quad$また、三角形${\triangle \mathrm{ABC}}$の垂心も求めることができる
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