数学II_1Q2H_1

最小値 Min$=1$、最大値 Max$=5$
データ数 $8$ より、4番目と5番目の間が真ん中なので、
中央値$\; Q_2=$「4番目と5番目の平均」$ =\dfrac{2+4}{2}=3$
第１四分位数$\;Q_1＝$「前半の中央値」$=\dfrac{2+2}{2}=2$
第3四分位数$\;Q_3＝$「後半の中央値」$=\dfrac{4+5}{2}=4.5$
四分位範囲 IQR$=Q_3-Q_1=4.5-2=2.5$
$+$$=\mu=$平均$=\dfrac{1+2+2+2+4+4+5+5}{8}=\dfrac{25}{8}=3.125$

１が１個、２が２個、３が２個、４が２個、５が１個→度数分布表

$x$	1	2	3	4	5	$\Sigma$計
$f$	1	2	2	2	1	$n=8$
$xf$	1	4	6	8	5	$\Sigma xf=24$

平均　$\mu=\dfrac{1}{n} \Sigma xf=\dfrac{1}{8} \cdot 24=3$

$(x-\mu)^2$	4	1	0	1	4	$\Sigma$計
$f$	1	2	2	2	1	$n=8$
$(x-\mu)^2f$	4	2	0	2	4	$\Sigma(x-\mu)^2f=12$

分散　$\sigma^2=\dfrac{1}{n} \Sigma (x-\mu)^2f=\dfrac{1}{8} \cdot 12=\dfrac{3}{2}=1.5$
標準偏差　$\sigma=\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$、ヒストグラムと度数折線→ 

(公式1)　分散　$V(x)=E(x^2)-E(x)^2$$=$「(２乗の平均)-(平均)$^2$」
(公式2)　$E(ay+b)=aE(y)+b$、$V(ay+b)=a^2V(y)$
証明：1Q2H_V3_pf

$x$	15	30	45	60	計
$f$	1	3	3	2	9
$xf$	15	90	135	120	360
$x^2f$	225	2700	6075	7200	16200

平均　$E(x)=\dfrac{1}{n} \Sigma xf=\dfrac{1}{9} \cdot 360=40$
$E(x^2)=\dfrac{1}{n} \Sigma x^2f=\dfrac{1}{9} \cdot 16200=1800$ より
分散　$V(x)=E(x^2)-E(x)^2=1800-40^2=200$
$y=\dfrac{x-45}{15} \; (x=15y+45)$ と変数変換すると

$y$	-2	-1	0	1	計
$f$	1	3	3	2	9
$yf$	-2	-3	0	2	-3
$y^2f$	4	3	0	2	9

$E(y)$$=\dfrac{1}{n} \Sigma yf=\dfrac{1}{9} \cdot (-3)=\dfrac{-1}{3}$　$E(y^2)=\dfrac{1}{n} \Sigma y^2f=\dfrac{1}{9} \cdot 9=1$
よって、$V(y)$$=E(y^2)-E(y)^2=1-\Big( \dfrac{-1}{3}\Big)^2=\dfrac{8}{9}$
$x=15y+45$より
平均　$E(x)=E(15y+45)=15$$E(y)$$+45=15\cdot \dfrac{-1}{3}+45=40$
分散　$V(x)=V(15y+45)=15^2$$V(y)$$=15^2\cdot \dfrac{8}{9}=200$